dilatazione termica / Thermal expansion Attendere caricamento applet Luciano Troilo, Creato con GeoGebra

We can assume that the temperature raise is proportional to elapsed time. By measuring the time and the angle we can derive the law of thermal expansion of a metal rod

 

Una barretta di metallo viene riscaldata. Mediante una serie di leve si riesce a visualizzare le piccolissime variazioni di lunghezza indicate da un indice ruotante. Sotto si riporta l'immagine di una apparecchiatura di laboratorio in cui viene mostrato il sistema di leve che fanno muovere l'indice.

Non abbiamo gli strumenti adatti a misurare la temperatura della barretta, perciò possiamo fare solo delle considerazioni qualitative:

• possiamo ritenere che la quantità di calore nell'unità di tempo fornito dal fornellino ad alcool sia costante

• quindi l'aumento della della temperatura nell'unità di tempo della barretta è pure essa costante

• misurando la posizione della lancetta sul quadrante ad intervalli regolari possiamo avere un'idea della dipendenza fra allungamento e temperatura.

   

  Come fare

  • accendi la fiamma
    

  • prendi il tempo ogni 5 divisioni
    

  • spegni la fiamma
    

  • riporta in una tabella i valori indicati dalla lancetta e il rispettivo tempo trascorso
    

  • ripeti la prova premendo RESTART

    vedi un esenpio QUI

Verificare la seguente ipotesi tenendo conto delle osservazioni precedenti:

l'aumento della lunghezza della barretta è direttamente proporzionale all'aumento di temperatura.

 

Dilatazione termica dei solidi e dei liquidi

Tutti i corpi, sottoposti ad una variazione di temperatura, subiscono deformazioni più o meno evidenti. Qualitativamente questo fenomeno si può giustificare nel seguente modo: qualsiasi aumento di temperatura di un corpo materiale è accompagnato da un aumento della velocità di vibrazione delle sue molecole e conseguentemente da un numero maggiore di urti che queste subiscono. Questi fenomeni determinano un incremento della distanza media tra le molecole, per cui il risultato finale si traduce in un aumento del volume.
Nel caso di una diminuzione della temperatura la situazione risulta perfettamente simmetrica a quella appena descritta ed il risultato finale consiste in una diminuzione del volume del corpo. L’entità della deformazione subita viene calcolata confrontando le dimensioni spaziali del corpo prima e dopo la variazione della temperatura. Esistono comunque moltissimi casi in cui una o due dimensioni prevalgono in maniera così evidente sulle rimanenti da rendere trascurabili, su queste ultime, gli effetti delle deformazioni conseguenti a variazioni della temperatura.
Si pensi per esempio ad una barra di metallo (o ad una colonnina di liquido) di qualche metro di lunghezza e sezione dell’ordine di pochi cm², sottoposta ad una variazione di temperatura. In questo caso si parla di dilatazione termica lineare, intendendo che l’effetto prodotto è apprezzabile unicamente nella direzione della lunghezza della barra, mentre può essere trascurato nelle altre due dimensioni. Analogamente per una lamina sottile solida si parla di dilatazione termica superficiale, mentre per un corpo avente le tre dimensioni dello stesso ordine di grandezza si parla di dilatazione termica cubica.
Per effettuare un’analisi quantitativa si consideri un filo o una sottile sbarra metallica di lunghezza iniziale l_o  alla temperatura di riferimento di 0 ^oC. Se la temperatura viene portata al valore t ^oC (t > 0), l’esperienza mostra che il filo o la sbarra subisce un allungamento Δl il cui valore è direttamente proporzionale alla lunghezza l_o e all’aumento della temperatura, ossia:

Δl = λ l_o t

dove λ (lambda) rappresenta una costante di proporzionalità detta coefficiente di dilatazione lineare, che dipende unicamente dalle proprietà fisiche della sostanza di cui è fatto il filo o la barra. Dunque  λ  esprime la variazione di lunghezza subita da una barra di un metro in seguito ad una variazione di temperatura di un grado centigrado. La lunghezza finale l del solido sarà quindi:

l = l_o+ Δl = l_o + λ l_o t

cioè

l =l_o (1 +λ t)

Questa relazione esprime la legge della dilatazione lineare e dimostra che la lunghezza aumenta linearmente con la variazione di temperatura. Questa variazione di lunghezza può essere usata per misurare una temperatura incognita, facendo riferimento ad una temperatura nota.
Quando il corpo che subisce la deformazione ha due o tutte le dimensioni dello stesso ordine di grandezza, la variazione interessa rispettivamente una superficie o un volume. Per ottenere le relazioni che esprimono quantitativamente il fenomeno si procede nel seguente modo.
Nel caso di dilatazione superficiale si consideri una lamina rettangolare di dimensioni iniziali  a_o   e    b_o    e superficie  S_o  alla  temperatura di 0 ^oC. A seguito della variazione  t  della temperatura le lunghezze dei lati diventano rispettivamente:

a= a_o (1+ λ t)             b=b_o (1 + λt)

S = a b = a_o b_o (1 + λ t)² = S_o (1 + 2 λ t + λ² t²)

In questa espressione il termine contenente λ²può essere trascurato perché λ<< 1 e la relazione diventa:

S = S_o (1 + 2 λ t)

Pertanto il coefficiente di dilatazione superficiale è circa uguale al doppio del coefficiente di dilatazione lineare.

Infine nel caso di dilatazione cubica si consideri un parallelepipedo di dimensioni iniziali ao, bo, co  e volume Vo.  Se t rappresenta l’incremento di temperatura rispetto al valore iniziale di 0 oC, le lunghezze degli spigoli diventano:

a = a_o   (1 + λ t)

b = b_o (1 + λ t)

c = c_o (1 + λ t)

e pertanto il volume risulterà:

V = a b c = a_o b_o c_o (1 + λ t)³ = V_o (1 + 3 λ t + 3 λ² t² + λ³ t³)

I termini contenenti λ² e λ³ si possono trascurare per considerazioni analoghe alle precedenti e quindi il volume finale diventa:

  V = V_o (1 + 3 λ t)

Pertanto il coefficiente di dilatazione cubica è circa uguale al triplo del coefficiente di dilatazione lineare.
Si noti che nelle relazioni che esprimono le dilatazioni lineare, superficiale e cubica sarebbe più corretto scrivere Δt invece di t, poiché la causa della dilatazione è una variazione di temperatura; in questo caso compare t perché è stata scelta come temperatura di riferimento quella di  0 ^oC, per cui Δ t = t – 0 = t.
Se la temperatura di riferimento non è  0 ^oC, il procedimento rigoroso implicherebbe il calcolo delle varie lunghezze riferite a tale temperatura; nella pratica, poiché l’errore che si commette è trascurabile, si preferisce usare le formule prima dedotte nella forma:

l = l_o  (1 + λ Δ t)
S = S_o (1 + λ Δ t)
V = V_o (1 + λ Δ t)

qualunque sia la temperatura iniziale di riferimento.
La relazione ottenuta per la dilatazione cubica vale anche nel caso dei liquidi, purché si tenga conto del fatto che anche il recipiente in cui è contenuto il liquido subisce una dilatazione.
Nelle tabelle seguenti sono riportati i coefficienti di dilatazione per alcuni materiali solidi e liquidi. Si può notare, confrontando i coefficienti λ, che la dilatazione termica è molto più accentuata nei liquidi che nei solidi.

Coefficienti di dilatazione per alcuni materiali solidi              Coefficienti di dilatazione per alcuni liquidi

Materiale                                            λ (oC-1)	Materiale                                           λ (oC-1)
Acciaio                                              11 * 10-6	Acetone                                        14,9 * 10-4
Alluminio                                          24 * 10-6	Acqua                                             2,1 * 10-4
Argento                                              19 * 10-6	Alcool                                           11,2 * 10-4
Ferro                                                  12 * 10-6	Benzolo                                         12,4 * 10-4
Ottone e bronzo                                 19 * 10-6	Glicerina                                         5,1 * 10-4
Rame                                                 17 * 10-6	Mercurio                                       1,82 * 10-4
Vetro                                                   9 * 10-6	Petrolio                                           9,5 * 10-4
Vetro pyrex                                      3,2 * 10-6	Benzina                                           9,6 * 10-4
Piombo                                              29 * 10-6	Aria                                               3,67 * 10-3
Cemento                                            12 * 10-6	Elio                                              3,665 * 10-3
Oro                                                 14,3 * 10-6	Olio d’oliva                                   0,74 * 10-3

 

Effetti della dilatazione termica nella vita pratica

 La dilatazione termica dei materiali crea seri inconvenienti in molte applicazioni tecnologiche. Per esempio, la precisione di un orologio meccanico è limitata proprio dal fatto che le dimensioni delle sue parti mobili variano leggermente al variare della temperatura. Per ridurre questi inconvenienti, nella costruzione di strumenti di precisione si utilizzano leghe particolari, i cui coefficienti di dilatazione termica sono piccolissimi. Inoltre nella progettazione di macchinari, edifici, ponti occorre lasciare adeguati spazi liberi tra i diversi componenti, affinché i materiali (soprattutto i metalli) possano dilatarsi, senza deformare la struttura.
Al fenomeno della dilatazione termica è dovuto anche il fatto che gli oggetti di vetro si rompono, se vengono riscaldati in modo non uniforme. Se, per esempio si mette un bicchiere sulla fiamma del gas, il suo fondo si riscalda, e quindi si dilata, più della parte superiore, ed il vetro si rompe; ma se, invece, si riscalda il bicchiere gradualmente ed in modo uniforme, in un bagno di acqua, esso non si rompe perché tutte le sue parti si dilatano ugualmente. I vetri speciali, come il pyrex, usati per le pentole resistenti al fuoco, sono caratterizzati da coefficienti di dilatazione termica minori di quello del vetro comune.  

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La torre Eiffel è alta con la sua antenna 324 metri. A seconda della temperatura ambientale l'altezza della Torre Eiffel può variare di diversi centimetri a causa della dilatazione del metallo. Quanto varia l'altezza tra una giornata rigida d'inverno (-5°C) e una calda d'estate (+35°C)?

Δl = λ l_o Δt =12 * 10^-6 °C^-1*324m*40°C=0.16m